남겨주신 페이지 주소로 들어가 보니 비회원은 글쓰기가 권한이 없는 것 같습니다. 

문제 상황을 확인해볼 수 있게 비회원도 글쓰기가 가능하게 권한을 수정해 주시겠어요?

그리고 올려주신 내용만으로는 원인을 파악하기 어렵습니다.

정확한 원인을 파악하기 위해 디버그 모드를 활성화해서

어떤 오류 메시지가 표시되는지 확인해보셔야 할 듯합니다.

디버그 모드 활성화 방법은 아래의 링크를 참고해보세요.

워드프레스 에러 확인하기 - 디버그 모드 활성화 방법

오류 메시지가 표시되지 않는다면 잠시 다른 테마로 바꿔서 확인해보시고

다른 플러그인을 비활성화하신 후에도 확인해보셔야 할 듯합니다.

고맙습니다.