아이디 찾기 시에도 아래와 같이 메일을 전송했다는 문구를 표시하고 있습니다.

https://imgur.com/a/RrPpDST

해당 문구가 표시되지 않는다면

WP-Members 플러그인과 코스모스팜 회원관리 플러그인의 버전이 최신 버전인지 확인해보셔야 할 듯합니다.

테마나 다른 플러그인과 충돌은 없는지도 확인해보시는 게 좋겠습니다.

고맙습니다.

이제 메일은 정상적으로 보내지는데, 아이디 찾기 이후 아무런 텍스트가 나오지 않아서 메일이 갔는지, 무엇을  확인해야하는지를 모르겠더라구요.

비밀번호 초기화 할때는 비밀번호가 메일로 보내졌다는 문구가 나와서 메일을 확인할 수 있었습니다.

아이디 찾기 후 텍스트 부분은 어디에 추가할 수 있을까요?

코스모스팜 회원관리 플러그인 관련해서는 KBoard 카테고리가 아닌

워드프레스 카테고리에 올려주시길 부탁드립니다.

해당 게시글을 KBoard -> 워드프레스 카테고리로 이동하겠습니다.

올려주신 내용만으로는 원인을 파악하기 어렵습니다.

특정 상황에서만 메일이 보내지지 않는다면

워드프레스에서 에러 혹은 알 수 없는 문제가 있을 때 대응 방법을 참고하셔서

에러 메시지나 충돌이 있는지 점검해보셔야 할 듯합니다.

워드프레스 사이트에서 메일이 정상적으로 전송되지 않는다면

받는 쪽 스팸메일함도 확인해보시겠어요?

만약, 메일이 스팸메일함에 있다면

WP Mail SMTP 플러그인을 설치해서 보내는 메일을 새로 세팅해주시면 도움이 됩니다.

아래 관련 링크도 참고해보시겠어요?

워드프레스 이메일 전송 문제 해결 방법, 메일건(Mailgun)

스팸메일함에도 없다면

메일을 보내는 기능은 서버 세팅에 의존하기 때문에

서버 관리자 또는 웹호스팅 업체에도 문의를 해보셔야 할 듯합니다.

고맙습니다.