워드프레스 사이트와 모바일 앱이 서로 다르기 때문에 로그인 체크가 되지 않을 듯합니다.

싱글사인온(Single Sign On) 기능을 구축해야 하며

실제 구현 방법은 서버 환경이나 DB 구조에 따라서 아주 다양하기 때문에 적절한 방법을 찾아보셔야 할 듯합니다.

싱글사인온 기능을 구현하시려면 워드프레스 관련해서 찾아보셔야 할 듯합니다.

구글에서 워드프레스 Single Sign On 키워드로 검색을 해보시면 여러 자료가 있습니다.

그리고 아래 링크된 페이지에서 관련된 플러그인도 찾아보실 수 있습니다.

https://wordpress.org/plugins/tags/single-sign-on/

고맙습니다.