올려주신 코드 중에 오타가 있는 듯합니다.

아래의 코드를 찾아서

<select name="kboard_search_option[<?php echo $field['meta_key']?>]][value]">

아래의 코드로 교체하신 후에 확인해보시겠어요?

<select name="kboard_search_option[<?php echo $field['meta_key']?>][value]">

코드 수정 시 대괄호 열고 닫힘을 잘 확인하셔야 할 듯합니다.

고맙습니다.

<div class="board_search">
		<form id="kboard-search-form-<?php echo $board->id?>" method="get" action="<?php echo $url->toString()?>">
			<div class="search_box">
				<?php echo $url->set('pageid', '1')->set('target', '')->set('keyword', '')->set('mod', 'list')->toInput()?>
				<?php foreach($board->fields()->getSkinFields() as $key=>$field):?>
					<?php if($field['field_type'] == 'select'):?>
						<!-- 옵션 필드 검색 데이터를 초기화 -->
						<?php $kboard_search_option = kboard_search_option()?>
						<!-- 검색 방법 (AND, OR) -->
						<input type="hidden" name="kboard_search_option[relation]" value="AND">
						<input type="hidden" name="kboard_search_option[<?php echo $field['meta_key']?>][key]" value="<?php echo $field['meta_key']?>">
						<input type="hidden" name="kboard_search_option[<?php echo $field['meta_key']?>][compare]" value="LIKE">
						<input type="hidden" name="kboard_search_option[<?php echo $field['meta_key']?>][wildcard]" value="both">
						<select name="kboard_search_option[<?php echo $field['meta_key']?>]][value]">
							<option value=""><?php echo $field['meta_key']?></option>
							<?php foreach($field['row'] as $option_key=>$option_value):?>
								<?php if(isset($option_value['label']) && $option_value['label']):?>
										<option value="<?php echo esc_attr($option_value['label'])?>"><?php echo esc_html($option_value['label'])?></option>
								<?php endif?>
							<?php endforeach?>
						</select>
					<?php endif?>
				<?php endforeach?>
				<input type="text" name="keyword" value="<?php echo esc_attr(kboard_keyword())?>" placeholder="검색" aria-label="검색">
				<button type="submit" aria-label="검색"></button>
			</div>
		</form>
	</div>

커뮤니티에서 모든 코드를 봐드리기는 현실적으로 어렵습니다.

KBoard 플러그인에서 입력 필드 검색 방법은

아래의 링크를 참고 부탁드립니다.

KBoard(케이보드) 입력 필드 검색 방법 - 워드프레스 게시판 커스터마이징

고맙습니다.