확인해보니 TOP 메뉴에 로그인 링크를 추가하신 듯합니다.

(혹은 TOP 위치의 위젯 기능을 사용하신 듯합니다.)

모바일에서 해당 메뉴가 안 보이는 건 코스모스팜 회원관리 플러그인과는 관련이 없습니다.

테마에서 의도적으로 TOP 쪽에 있는 메뉴 혹은 위젯을 숨기고 있기 때문입니다.

소스보기 해서 확인해보면 코스모스팜 회원관리에서 추가된 로그인 링크는 여전히 있는 걸 확인할 수 있습니다.

TOP 메뉴 외 Main 메뉴에도 로그인 링크를 추가해보시겠어요?

아니면 헤더 부분을 다른 스타일로 변경하거나, 테마의 HTML CSS 코드를 수정해서 TOP 메뉴가 나오도록 하셔야 할 듯합니다.

그 외에는 테마 제작자에게 TOP 메뉴가 항상 보이게 하는 방법을 문의해보셔야 할 듯합니다.

고맙습니다.