테스트한 코드를 그대로 복사 붙여넣기 한 것이라 버그가 있을 순 있지만 동작은 할겁니다.

코드상 문제라면 적어도 오류 메시지라도 나와야 하거든요.

워드프레스 디버그 모드를 활성화해서 오류 메시지가 나오는걸 확인해보시겠어요?

워드프레스의 wp-config.php 파일에서

define('WP_DEBUG', false); -> define('WP_DEBUG', true);

이렇게 수정해주시면 디버그 모드가 활성화 됩니다.

또는 워드프레스 디버그 모드 대신 아래 플러그인으로 오류 내용을 확인할 수 있습니다.

https://ko.wordpress.org/plugins/error-log-monitor/

아래 코드를 테마의 functions.php 파일에 추가해주세요.

add_action('kboard_comments_insert', 'my_kboard_comments_insert', 10, 2);
function my_kboard_comments_insert($comment_uid, $content_uid){
    $comment = new KBComment();
    $comment->initWithUID($comment_uid);
    $document = new KBContent();
    $document->initWithUID($content_uid);
    
    if($comment->parent_uid){
        $parent = new KBComment();
        $parent->initWithUID($comment->parent_uid);
        
        if($parent->user_uid){
            $user = new WP_User($parent->user_uid);
        
            if($user->user_email && $user->id != get_current_user_id()){
                if(!class_exists('KBMail')){
                    include_once KBOARD_DIR_PATH . '/class/KBMail.class.php';
                }
                $url = new KBUrl();
                $mail = new KBMail();
                $mail->to = $user->user_email;
                $mail->title = "답글이 등록 되었습니다.";
                $mail->content = $comment->content;
                $mail->url = $url->getDocumentRedirect($document->uid);
                $mail->send();
            }
        }
        else if($parent->option->email){
            if(!class_exists('KBMail')){
                include_once KBOARD_DIR_PATH . '/class/KBMail.class.php';
            }
            $url = new KBUrl();
            $mail = new KBMail();
            $mail->to = $parent->option->email;
            $mail->title = "답글이 등록 되었습니다.";
            $mail->content = $comment->content;
            $mail->url = $url->getDocumentRedirect($document->uid);
            $mail->send();
        }
    }
}

비회원도 이메일 알림을 받을 수 있도록 하시려면 댓글 스킨을 수정해주셔야 합니다.

/wp-content/plugins/kboard-comments/skin/default/list.php

위 파일에서 아래 굵게 표시된 코드를 추가해주시면 됩니다.

<?php if(is_user_logged_in()):?>
<input type="hidden" name="member_display" value="<?php echo $member_display?>">
<?php else:?>
<div class="comments-field">
    <label class="comments-field-label" for="comment_member_display"><?php echo __('Author', 'kboard-comments')?></label>
    <input type="text" id="comment_member_display" name="member_display" value="<?php echo $temporary->member_display?>" placeholder="<?php echo __('Author', 'kboard-comments')?>..." required>
</div>
<div class="comments-field">
    <label class="comments-field-label" for="comment_password"><?php echo __('Password', 'kboard-comments')?></label>
    <input type="password" id="comment_password" name="password" value="" placeholder="<?php echo __('Password', 'kboard-comments')?>..." required>
</div>
<div class="comments-field">
    <label class="comments-field-label" for="comment_email"><?php echo __('Email', 'kboard-comments')?></label>
    <input type="text" id="comment_email" name="comment_option_email" value="" placeholder="<?php echo __('Email', 'kboard-comments')?>..." required>
</div>
<?php endif?>